1、矩阵等价
矩阵A与B等价必须具备的两个条件：
(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；
(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。
2、矩阵A与B合同
必须同时具备的两个条件：
(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵；
(2) 存在n阶矩阵P:? P^TAP= B。
3、矩阵A与B相似
必须同时具备两个条件：
(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵；
(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP= B。
扩展资料
矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同。
判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。
矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。
对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同。
矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样。
百度百科-合同矩阵
百度百科-相似矩阵
百度百科-等价矩阵
两个矩阵合同的充分必要条件
合同，两个实对称矩阵的正负那么这两个实对称矩阵一定是合同的。因为两个实对称矩阵合同的充要条件是两个实对称矩阵具有相同的秩和相同的正负惯性指数。
合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵?C，使得C^TAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。
每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1、-1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p，-1的个数是q，那么给定(p，q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。
数对(p，q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数，其中1的个数p称为正惯性指数， -1的个数q称为负惯性指数， p-q叫做符号差。
扩展资料：
惯性指数相关定理：
1、两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。(即两个实对称矩阵合同的充分必要条件为它们的正，负惯性指数都相等。)?
2、 实对称矩阵A的正(负)惯性指数就是它的正(负)特征值的个数。
推论 两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正(负)特征值的个数都相等。
合同的性质：
合同关系是一个等价关系，也就是说满足：
1、反身性，任意矩阵都与其自身合同。
2、对称性，A合同于B，则可以推出B合同于A。
3、传递性，A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C。
4、合同矩阵的秩相同。
矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。
百度百科-合同矩阵
百度百科-惯性指数
正负惯性指数相同。
根据帮学堂显示两个矩阵合同的充分必要条件是实对称矩阵A合同B的充要条件是二次型与有相同的正、负惯性指数。
合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，存在可逆矩阵C，使得CAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。
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本文概览：1、矩阵等价矩阵A与B等价必须具备的两个条件：(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。2、矩阵A与B合同必须同...
文章不错《如何判断矩阵合同、相似、等价？》内容很有帮助